2.3- COMPLEMENTARIOS EN LA GEOMETRÍA DEL TEMPERAMENTO IGUAL

En el capítulo «1.7- Geometria del temperamento igual» estudiamos cómo este modelo de afinación configura un polígono regular de doce vértices al dividir el intervalo de octava en doce intervalos proporcionalmente iguales entre sí. El dodecágono resultante puede además ser descompuesto en dos hexágonos, tres cuadrados, cuatro triángulos equiláteros o seis diagonales principales.

Las proporciones entre dos vértices se obtiene al multiplicar la frecuencia de uno de ellos por raíz x de 2.

En la ecuación el radicando dos representa la proporción del intervalo de octava (ya que este se obtiene al multiplicar por dos la frecuencia fundamental) y el índice de la raíz representa el número de notas en los que se desea dividir el intervalo de octava.

Multiplicando obtenemos las notas en sentido ascendente:

Al dividir invertimos el proceso y obtenemos los intervalos descendentes:

Comparando la ubicación de las parejas de intervalos complementarios con la geometría del temperamento igual podemos calcular la proporcionalidad de cada intervalo para este modelo de afinación.

Por ejemplo, al multiplicar una frecuencia por la raíz sexta de dos obtenemos su intervalo de segunda mayor.

Para calcular la proporcionalidad de su intervalo complementario (séptima menor- b7) dividimos entre la raíz sexta de dos y después multiplicamos por dos (ya que la frecuencia obtenida es necesario subirla una octava).

La proporcionalidad del intervalo de séptima menor en el sistema temperado es por lo tanto

Aplicando este procedimiento a las otras parejas de intervalos complementarios calculamos cual es la proporcionalidad de cada intervalo en el sistema temperado:

La consecuencia geométrica de los intervalos de cuarta y quinta es la unión entre los doce vértices del dodecaedro formando una estrella de doce puntas. Esta figura representa el círculo de cuartas y quintas temperadas característica del temperamento igual.

El cálculo de la proporcionalidad de estos intervalos en el sistema temperado podemos realizarlo sabiendo cuántas octavas tiene de recorrido el círculo completo para después dividir este rango en doce partes proporcionalmente iguales.

Para calcular la proporción del intervalo de cuarta realizamos en primer lugar el círculo completo de cuartas a partir de la nota C0.

C0 – F0 – Bb0 – Eb1 – Ab1 – Db2 – Gb2/F#2 – B2 – E3 – A3 – D4 – G4 – C5

Desde C0 hasta C5 se cumplen cinco octavas de recorrido. Como ya sabemos, el crecimiento entre octavas es exponencial:

Al aplicar la raíz duodécima sobre el valor del intervalo de la quinta octava obtenemos la proporcionalidad del intervalo de cuarta temperada:

Realizando la inversión del intervalo de cuarta podemos calcular la proporción del intervalo de quinta temperada.

Pero también es posible calcular la proporcionalidad del intervalo de quinta como hemos hecho con el de cuarta.

C0 – G0 – D1 – A1 – E2 – B2 – F#3 – C#4 – G#5 – D#5 – A#5 – E#6/F6 – C7

En el círculo de quintas se necesitan siete octavas completas para completar el recorrido. Por lo tanto es posible calcular la proporción del intervalo de quinta temperada aplicando la raíz duodécima al valor de la séptima octava:

También realizando la inversión del intervalo de quinta podemos calcular la proporción del intervalo de cuarta temperada.

En realidad la proporcionalidad de todos los intervalos del temperamento igual puede ser calculada sin necesidad de recurrir a la inversión de complementarios. Dividiendo el radicando doce de la raíz entre el número de semitonos que separan el intervalo de la tónica obtenemos su proporcionalidad:1 Las proporciones definidas en este capítulo son expresadas en términos de frecuencia. Su aplicación en forma de longitud de onda ha de realizarse de manera inversamente proporcional, como se explica en el capítulo 6.5

En los casos en los que no es posible resolver la fracción con un número entero, el divisor del índice de la raíz nos indica cual es la octava que hemos de fraccionar en x partes proporcionalmente iguales para obtener la proporción del intervalo. 2En el capítulo 7.9 profundizamos en la cuestión realizando una comparativa entre temperamento igual y ritmo. Creo que resulta más sencillo de entender así. Se recomienda su lectura para una mejor comprensión de estas proporciones.